Cho các số không âm a,b chứng minh rằng √(2(a^2+b^2)) lớn hơn hoặc bằng a+b  dấu bằng xảy ra khi nào

Để chứng minh rằng √(2(a^2+b^2)) lớn hơn hoặc bằng a+b, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho hai dãy số thực a1, a2, ..., an và b1, b2, ..., bn là:
(a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2) ≥ (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với a1 = √2a, a2 = √2b, b1 = 1 và b2 = 1, ta có:
((√2a)^2 + (√2b)^2)(1^2 + 1^2) ≥ (√2a * 1 + √2b * 1)^2
(2a^2 + 2b^2)(2) ≥ (√2a + √2b)^2
4(a^2 + b^2) ≥ (√2(a + b))^2
4(a^2 + b^2) ≥ 2(a + b)^2
2(a^2 + b^2) ≥ (a + b)^2

Để tiếp tục chứng minh, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức tam giác:
(a - b)^2 ≥ 0
a^2 - 2ab + b^2 ≥ 0
a^2 + b^2 ≥ 2ab

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào bất đẳng thức trên, ta có:
2(a^2 + b^2) ≥ (a + b)^2
a^2 + b^2 ≥ 2ab

Vậy, ta đã chứng minh được rằng 2(a^2 + b^2) ≥ (a + b)^2.

Để xảy ra dấu bằng, ta cần thỏa mãn điều kiện a = b. Khi đó, bất đẳng thức tam giác trở thành phương trình và ta có:
a^2 + a^2 = 2a^2 = 2ab

Vậy, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b.