Cho đa thức P(x) = x ^ 3 + ax ^ 2 + 3x + b với a z, b in Q có một nghiệm là 2 + căn bậc 2 của (5). Chứng minh P(x) chia hết cho x ^ 2 - 4x - 1

Để chứng minh P(x) chia hết cho x^2 - 4x - 1, ta cần chứng minh rằng nghiệm của P(x) là cả hai nghiệm của x^2 - 4x - 1.

Điều kiện để P(x) có nghiệm là delta của P(x) phải lớn hơn hoặc bằng 0. Ta có:

delta = a^2 - 4(3 + b)

Vì a là số thực và b là số hữu tỉ, nên delta phải lớn hơn hoặc bằng 0. Ta có:

a^2 - 4(3 + b) ≥ 0
a^2 - 12 - 4b ≥ 0
a^2 - 12 ≥ 4b

Điều này chỉ đúng khi a^2 - 12 = 0 và b = 0. Vậy ta có:

a = ±√12 = ±2√3
b = 0

Vậy đa thức P(x) có dạng:

P(x) = x^3 ± 2√3x^2 + 3x

Để chứng minh P(x) chia hết cho x^2 - 4x - 1, ta cần chứng minh rằng nghiệm của P(x) là cả hai nghiệm của x^2 - 4x - 1.

Ta có:

x^2 - 4x - 1 = 0
(x - 2)^2 - 5 = 0
(x - 2)^2 = 5
x - 2 = ±√5
x = 2 ± √5

Vậy nghiệm của P(x) là 2 + √5 và 2 - √5.

Để chứng minh P(x) chia hết cho x^2 - 4x - 1, ta cần chứng minh rằng P(2 + √5) = 0 và P(2 - √5) = 0.

Ta có:

P(2 + √5) = (2 + √5)^3 ± 2√3(2 + √5)^2 + 3(2 + √5)
= (2 + √5)(4 + 4√5 + 5√5 + 5) ± 2√3(4 + 4√5 + 5) + 6 + 3√5
= (2 + √5)(9 + 9√5) ± 2√3(9 + 9√5) + 6 + 3√5
= (2 + √5)(9 + 9√5) ± 18√3 + 18√15 + 6 + 3√5
= (2 + √5)(9 + 9√5) ± 3(6√3 + 6√5 + √5)
= (2 + √5)(9 + 9√5) ± 3(2√3 + 2√5 + √5)(3)

Vì (2 + √5)(9 + 9√5) là một số hữu tỉ, nên để P(2 + √5) = 0, ta cần chọn dấu trừ cho ±. Tương tự, để P(2 - √5) = 0, ta cần chọn dấu cộng cho ±.

Vậy ta có:

P(2 + √5) = 0 và P(2 - √5) = 0

Vậy đa thức P(x) chia hết cho x^2 - 4x - 1.