a) Ta có AE là trung tuyến của tam giác ABC, nên E là trung điểm của BC. Khi đó, DE là đường cao của tam giác ABC, nên DE vuông góc với AB và DE cắt AB tại D.

Vì AE là trung tuyến của tam giác ABC, nên AE cắt BC tại I sao cho AI = IE. Khi đó, ta có AI = IE = ID (vì tam giác AID cân tại I), nên tam giác AID là tam giác đều.

Do đó, ta có AD = AI = ID và DE vuông góc với AB, nên tam giác ADE là tam giác đều. Từ đó, ta có AD = DE.

Vậy, ta có AD = DE và AB = EF (vì EF là đường cao của tam giác ABC), nên tam giác BDFE là hình bình hành.

b) Ta đã chứng minh được tam giác ADE là tam giác đều. Khi đó, ta có AD = DE = AE.

Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH vuông góc với BC và cắt BC tại H.

Vì tam giác ADE là tam giác đều, nên AH cắt DE tại M sao cho AM là đường cao của tam giác ADE. Khi đó, ta có AM = MH (vì tam giác ADE là tam giác đều).

Vậy, ta có AM = MH và AD = DE, nên tam giác DFEH là hình thang cân.

c) Gọi N' là trung điểm của BN. Ta cần chứng minh F là trung điểm của EN'.

Vì F là trung điểm của EM, nên ta có EF || BC và EF = BC/2.

Vì N' là trung điểm của BN, nên ta có N'I || BC và N'I = BC/2.

Vậy, ta có EF || N'I và EF = N'I, nên tam giác EN'F là tam giác đồng dạng với tam giác N'EF.

Vì tam giác N'EF đồng dạng với tam giác ABC (do EF || BC và EF = BC/2), nên tam giác N'EF đồng dạng với tam giác ABC.

Vậy, ta có N'F || AH và N'F = AH/2.

Vì F là trung điểm của BN, nên ta có NF || AH và NF = AH/2.

Vậy, ta có N'F || NF và N'F = NF, nên F là trung điểm của EN'.

Từ đó, ta có A, N', M thẳng hàng.

Vậy, ta có A, N, M thẳng hàng.