Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC, E là điểm đối xứng với H qua I. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của HC, CE cắt đường thẳng AM, AN cắt HE tại G và K Chứng minh rằng tứ giác AHCE là hình chữ nhật. Chứng minh rằng HG =GK = KE

Để chứng minh tứ giác AHCE là hình chữ nhật, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối nhau của nó là bằng nhau và vuông góc với nhau.

Ta có:
- AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH vuông góc với BC.
- HE là đường đối xứng của HA qua trung điểm I, nên HE cũng vuông góc với BC.
=> AH và HE là hai cạnh vuông góc với BC.

- AC là đường cao của tam giác ABC, nên AC vuông góc với AB.
- CE là đường đối xứng của AC qua trung điểm I, nên CE cũng vuông góc với AB.
=> AC và CE là hai cạnh vuông góc với AB.

Vậy tứ giác AHCE có hai cặp cạnh đối nhau vuông góc với nhau, nên nó là hình chữ nhật.

Để chứng minh HG = GK = KE, ta sẽ sử dụng tính chất của hình chữ nhật AHCE.

Vì AHCE là hình chữ nhật, nên các đường chéo của nó bằng nhau và cắt nhau ở trung điểm.

Ta có:
- Đường chéo AH cắt đường chéo CE tại trung điểm I.
- Đường chéo HE cắt đường chéo AC tại trung điểm I.
=> Trung điểm I của đường chéo AH cũng là trung điểm của đường chéo CE và AC.

Do đó, ta có:
- HG = GK (vì HG và GK là hai cạnh đối nhau của hình chữ nhật AHCE và cắt nhau tại trung điểm I).
- GK = KE (vì GK và KE là hai cạnh đối nhau của hình chữ nhật AHCE và cắt nhau tại trung điểm I).

Vậy ta có HG = GK = KE.