Để chứng minh DE || BC, ta sẽ sử dụng định lí phân giác.

1. Ta có phân giác của AMB cắt AB tại D, nên theo định lí phân giác, ta có:
BD/AD = BM/AM
Tương tự, phân giác của AMC cắt AC tại E, nên:
CE/AE = CM/AM

2. Ta cần chứng minh I là trung điểm của DE, tức là DI = IE.

Áp dụng định lí phân giác cho tam giác AMB, ta có:
BD/AD = BM/AM
=> BD = (BM/AM) * AD

Áp dụng định lí phân giác cho tam giác AMC, ta có:
CE/AE = CM/AM
=> CE = (CM/AM) * AE

Ta có:
DI = BD - BI = BD - (BM/AM) * AI
IE = CE - CI = CE - (CM/AM) * AI

Vậy, để chứng minh DI = IE, ta cần chứng minh:
BD - (BM/AM) * AI = CE - (CM/AM) * AI
<=> BD - CE = (BM/AM - CM/AM) * AI
<=> BD - CE = (BM - CM)/AM * AI

Từ định lí phân giác, ta có:
BD/AD = BM/AM
CE/AE = CM/AM
=> BD/AD - CE/AE = BM/AM - CM/AM
<=> (BD - CE)/AD = (BM - CM)/AM

Vậy, ta có:
(BD - CE)/AD = (BM - CM)/AM
<=> (BD - CE)/(AD - AE) = (BM - CM)/(AM - AE)
<=> DE/DE = BM/AM

Vì DE/DE = 1 và BM/AM = 1, nên ta có:
1 = 1
=> DI = IE

Vậy, I là trung điểm của DE.