a. Điều kiện xác định của biểu thức P là khi mẫu của các phân số trong biểu thức không bằng 0. Ta có:
- Mẫu của phân số đầu tiên là 2x + 12, nên 2x + 12 ≠ 0 ⇒ x ≠ -6.
- Mẫu của phân số thứ hai là x + 108, nên x + 108 ≠ 0 ⇒ x ≠ -108.
- Mẫu của phân số thứ ba là 2x (x + 6), nên 2x (x + 6) ≠ 0 ⇒ x ≠ 0 và x ≠ -6.

Vậy điều kiện xác định của biểu thức P là x ≠ -6, x ≠ -108, x ≠ 0.

b. Để rút gọn biểu thức P, ta thực hiện các bước sau:
- Rút gọn phân số đầu tiên: x² - 2x/ 2x + 12 = x(x - 2)/2(x + 6).
- Rút gọn phân số thứ hai: x - 6/x + 108 = (x - 6)/ (x + 108).
- Rút gọn phân số thứ ba: -6x/2x (x+6) = -3/x(x + 6).

Kết hợp các phân số đã rút gọn, ta có biểu thức P sau khi rút gọn là:
P = (x(x - 2)/2(x + 6)) / ((x - 6)/ (x + 108)) / (-3/x(x + 6))
= (x(x - 2)(x + 108))/ (2(x + 6)(x - 6)(-3))
= -x(x - 2)(x + 108)/ (6(x + 6)(x - 6))

c. Để tìm x khi P = 3/2, ta giải phương trình:
- x(x - 2)(x + 108)/ (6(x + 6)(x - 6)) = 3/2
- 2x(x - 2)(x + 108) = 9(x + 6)(x - 6)
- 2x³ + 212x - 432 = 9x² - 36
- 2x³ - 9x² + 212x - 396 = 0

Phương trình trên là phương trình bậc 3, để giải phương trình này ta có thể sử dụng phương pháp đồ thị hoặc phương pháp chia đôi.