Tam giác ABC vuông tại A có trung tuyến AM

Để chứng minh các điều kiện trên, ta cần vẽ hình như sau:

1) Vẽ tam giác ABC vuông tại A, trung tuyến AM và tia đối của tia AM.
2) Trên tia đối của tia AM, lấy điểm D sao cho MA = MD.

Giả sử góc BAC = α.

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc B = 90° - α.

Vì MA = MD, nên góc AMD = góc ADM = α.

1) Chứng minh tam giác AAB = tam giác DMC:
Ta có:
góc B = 90° - α
góc AMD = α
góc ADM = α

Do đó, tam giác AAB = tam giác DMC (cùng có 2 góc bằng nhau).

2) Chứng minh CD vuông góc với AC:
Vì tam giác AAB = tam giác DMC (đã chứng minh ở trên), nên góc A = góc D.

Vì MA = MD, nên tam giác AMD cân tại M.

Do đó, góc ADM = góc MDA.

Vì góc ADM = góc MDA và góc ADM = góc A, nên góc MDA = góc A.

Vậy, góc MDA = góc A = góc BAC.

Vì góc MDA = góc BAC, nên CD vuông góc với AC (do góc nội tiếp và góc ngoại tiếp trên cùng một cung có cùng độ lớn).

3) Chứng minh AM = 1/2 BC:
Vì tam giác AAB = tam giác DMC (đã chứng minh ở trên), nên góc A = góc D.

Vì MA = MD, nên tam giác AMD cân tại M.

Do đó, góc ADM = góc MDA.

Vì góc ADM = góc MDA và góc ADM = góc A, nên góc MDA = góc A.

Vì góc MDA = góc A = góc BAC, nên tam giác MDA = tam giác BAC (cùng có 3 góc bằng nhau).

Vì tam giác MDA = tam giác BAC, nên MA/BA = MD/BC (định lí đồng dạng tam giác).

Vì MA = MD, nên MA/BA = 1/2.

Do đó, AM = 1/2 BC.

Vậy, ta đã chứng minh được các điều kiện trên.