Để chứng tỏ biểu thức sau luôn âm với mọi x, ta cần chứng minh rằng nó không bao giờ đạt giá trị dương.

Biểu thức đã cho là: x - x^2 - 1

Để biểu thức này đạt giá trị dương, ta cần tìm một giá trị x sao cho x - x^2 - 1 > 0.

Đặt f(x) = x - x^2 - 1, ta cần tìm x sao cho f(x) > 0.

Để giải phương trình f(x) = 0, ta có:

x - x^2 - 1 = 0
⇒ x^2 - x + 1 = 0

Để tìm nghiệm của phương trình này, ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Trong trường hợp này, a = 1, b = -1 và c = 1. Thay vào công thức, ta có:

x = (-(-1) ± √((-1)^2 - 4(1)(1))) / (2(1))
⇒ x = (1 ± √(1 - 4)) / 2
⇒ x = (1 ± √(-3)) / 2

Vì √(-3) không tồn tại trong tập số thực, nên phương trình không có nghiệm thực.

Do đó, không tồn tại giá trị x nào khiến biểu thức x - x^2 - 1 đạt giá trị dương. Vì vậy, biểu thức này luôn âm với mọi giá trị x.