Để chứng minh tam giác ADB đồng dạng với tam giác AEC, ta cần chứng minh các góc tương ứng của hai tam giác này bằng nhau.

a) Ta có:
- Tam giác ADB và tam giác AEC có cạnh chung AD.
- Góc ADB và góc AEC là góc giữa hai đường cao BD và CE của tam giác ABC.

Do đó, ta có:
∠ADB = ∠AEC (góc giữa hai đường cao BD và CE)

Vậy tam giác ADB đồng dạng với tam giác AEC.

b) Ta có:
- Tam giác ADB và tam giác AEC đồng dạng (đã chứng minh ở câu a).
- Từ đồng dạng của hai tam giác, ta có tỉ số đồng dạng giữa các cạnh tương ứng là:

AB/AD = AE/AC (1)

- Ta có:
∠HBD = ∠HCE (góc giữa đường cao BD và CE)
∠HDB = ∠HEC (góc giữa đường cao BD và CE)

- Từ hai góc bằng nhau, ta có:
∠HBD = ∠HCE
∠HDB = ∠HEC

- Vì tam giác ADB và tam giác AEC đồng dạng, nên các góc tương ứng của chúng bằng nhau. Do đó, ta có:
∠ADB = ∠AEC

- Từ hai góc bằng nhau, ta có:
∠ADB = ∠AEC

- Từ (1), ta có:
AB/AD = AE/AC

- Từ hai tỉ số bằng nhau, ta có:
AB/AD = AE/AC
AB.AC = AD.AE

- Ta có:
AB.AC = AD.AE
AB.AC = (AH + HD)(AH + HE)
AB.AC = AH^2 + AH.HE + HD.AH + HD.HE
AB.AC = AH^2 + AH.HE + HD(AH + HE)
AB.AC = AH^2 + AH.HE + HD.AH + HD.HE
AB.AC = AH(AH + HE) + HD(AH + HE)
AB.AC = AH.HD + AH.HE + HD.AH + HD.HE
AB.AC = AH.HD + HD.AH + AH.HE + HD.HE
AB.AC = (AH.HD + HD.AH) + (AH.HE + HD.HE)
AB.AC = HD(AH + AD) + HE(AH + AD)
AB.AC = HD.AD + HE.AD
AB.AC = (HD + HE).AD

- Vì AB.AC = (HD + HE).AD, nên ta có:
HD.HE = HB.HC

Vậy HB.HD = HE.HC.