a/ Ta có AB = 9 cm, BC = 15 cm và góc ABC = 90 độ (vuông tại A). Để giải tam giác ABC, ta cần tìm cạnh còn lại và các góc còn lại.

Áp dụng định lý Pythagoras, ta có:
AC^2 = AB^2 + BC^2
AC^2 = 9^2 + 15^2
AC^2 = 81 + 225
AC^2 = 306
AC = √306 cm

b/ Đường cao AH chia tam giác ABC thành hai tam giác vuông cân AHB và AHC.

Trong tam giác AHB, ta có:
AH^2 = AB^2 - BH^2
AH^2 = 9^2 - (BC/2)^2
AH^2 = 9^2 - (15/2)^2
AH^2 = 81 - 112.5
AH^2 = -31.5 (không thể có cạnh âm, vậy không tồn tại AH)

Trong tam giác AHC, ta có:
HC^2 = AC^2 - AH^2
HC^2 = 306 - 0 (vì AH = 0)
HC^2 = 306
HC = √306 cm

c/ Phân giác AD của góc CAH chia góc CAH thành hai góc bằng nhau.

Áp dụng định lý cosin trong tam giác AHC, ta có:
cos(CAH) = AH/AC
cos(CAH) = 0 (vì AH = 0)
CAH = 90 độ (góc vuông)

Do đó, AD là phân giác của góc vuông CAH, nên AD cũng là đường cao của tam giác ABC.

d/ Ta cần chứng minh BM // HK.

Áp dụng định lý Thales, ta có:
DK/AC = DM/BC
DK/√306 = DM/15
DK = (DM/15) * √306

Áp dụng định lý cosin trong tam giác BDM, ta có:
cos(BDM) = DM/BD
cos(BDM) = DM/BC
cos(BDM) = DM/15

Áp dụng định lý cosin trong tam giác BDK, ta có:
cos(BDK) = DK/BD
cos(BDK) = DK/BC
cos(BDK) = DK/15

Vì BM là đường cao của tam giác ABC, nên BM vuông góc với AC. Từ đó, ta có:
cos(BDM) = cos(BDK)
DM/15 = DK/15
DM = DK

Vậy BM // HK.