Để tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức trên, ta cần tìm điểm cực tiểu của từng biểu thức. Để làm điều này, ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương hoặc sử dụng đạo hàm.

1. A = x^2 + 2x + 10:
Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta sẽ hoàn thành bình phương:
A = (x^2 + 2x + 1) + 9 = (x + 1)^2 + 9.
Vì (x + 1)^2 luôn không âm, nên giá trị nhỏ nhất của A là khi (x + 1)^2 = 0, tức là x = -1.
Khi đó, giá trị nhỏ nhất của A là A = 9.

2. B = x^2 - 6x^2y^2 + 2xy + 2x + 5:
Để tìm giá trị nhỏ nhất của B, ta sẽ sử dụng đạo hàm:
∂B/∂x = 2x - 12xy^2 + 2y + 2,
∂B/∂y = -12x^2y + 2x + 2.
Để tìm điểm cực tiểu, ta giải hệ phương trình:
2x - 12xy^2 + 2y + 2 = 0,
-12x^2y + 2x + 2 = 0.
Tuy nhiên, việc giải hệ phương trình này khá phức tạp và không thể giải bằng phép tính đơn giản. Do đó, ta không thể tìm giá trị nhỏ nhất của B bằng phương pháp này.

3. C = 2x^2 + y^2 + 2xy + 4y + 8x + 10:
Tương tự như trường hợp B, ta sẽ sử dụng đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất của C:
∂C/∂x = 4x + 2y + 8,
∂C/∂y = 2x + 2y + 4.
Giải hệ phương trình:
4x + 2y + 8 = 0,
2x + 2y + 4 = 0.
Từ đó, ta có x = -2 và y = -2.
Khi đó, giá trị nhỏ nhất của C là C = 2(-2)^2 + (-2)^2 + 2(-2)(-2) + 4(-2) + 8(-2) + 10 = -20.

Tóm lại, giá trị nhỏ nhất của các biểu thức là:
1. A = 9.
2. B: không thể tìm bằng phương pháp đạo hàm.
3. C = -20.