Bài 14. Cho an = 1+2+3+ ...+n. Chứng minh rằng an + an+1 là một số chính phương.

Dễ thấy an = n(n+1)/2.

Vậy an + an+1 = n(n+1)/2 + (n+1)(n+2)/2 = (n+1)(n + n + 2)/2 = (n+1)^2

Mà (n+1)^2 chắc chắn là một số chính phương, do đó an + an+1 cũng là một số chính phương.

Bài 15. Tìm số tự nhiên n để n+18 và n−41 là hai số chính phương.

Đặt n+18 = x^2 và n−41 = y^2, ta có hệ phương trình như sau:

x^2 - y^2 = 59

(x - y)(x + y) = 59

Vì 59 là một số nguyên tố nên cặp số (x - y, x + y) chỉ có thể là (1, 59) hoặc (-1, -59)

Nếu (x - y, x + y) = (1, 59) thì x = 30, y = 29, n = x^2 - 18 = 30^2 - 18 = 882

Nếu (x - y, x + y) = (-1, -59) thì x = -30, y = -29, nhưng n không thể là số tự nhiên âm nên trường hợp này không giữ lại.

Vậy n = 882.