a) Ta có AH là phân giác góc BAC, nên ∠BAH = ∠CAH. Vì tam giác ABC cân tại A, nên ∠BAC = ∠BCA. Do đó, ta có ∠BAH = ∠BCA. Từ đó, ta suy ra tam giác AHB = tam giác AHC (cùng có 2 góc bằng nhau).

b) Ta có AH là phân giác góc BAC, nên ∠BAH = ∠CAH. Vì tam giác ABC cân tại A, nên ∠BAC = ∠BCA. Do đó, ta có ∠BAH = ∠BCA. Từ đó, ta suy ra ∠BAH + ∠BCA = 180°. Nhưng ∠BAH + ∠BCA + ∠BAC = 180° (tổng các góc trong tam giác ABC). Vậy ∠BAC = 90°, nên AH vuông góc BC.

c) Ta có AH là phân giác góc BAC, nên ∠BAH = ∠CAH. Ta cũng có ∠HEB = ∠HFC (vì EH và HF là các đường cao của tam giác ABC). Vì ∠BAH = ∠CAH, nên ∠HEB = ∠HFC. Từ đó, ta suy ra tam giác HEB = tam giác HFC (cùng có 2 góc bằng nhau).

d) Gọi M là trung điểm của BD. Ta có H là trung điểm của AD (theo đề bài). Vì H là trung điểm của AD, nên AH cắt BD tại M sao cho HM = MD. Ta cũng có AH vuông góc BC (theo câu b). Do đó, ta có FM vuông góc BD (do M là trung điểm của BD và HF là đường cao của tam giác ABC). Vậy FH vuông góc BD.