Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Tia phân giác của góc B cắt AC tại E. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho DB = AB. Hai đường thẳng AB và DE cắt nhau tại I

a) Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC = 90°. Tia phân giác của góc B cắt AC tại E, nên góc BAE = góc EAC.

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC = 90°. Khi đó, góc BAE + góc EAC = 90°.

Vì góc BAE = góc EAC, nên góc BAE = góc EAC = 45°.

Do đó, tam giác ABE là tam giác cân tại A, nên AE = AB.

Vì DB = AB, nên tam giác ABD cũng là tam giác cân tại A, nên AD = AB.

Vậy, ta có AE = AB = AD = DE.

b) Ta đã chứng minh được AE = DE.

Vì tam giác ABE là tam giác cân tại A, nên góc BAE = góc BEA.

Vì tam giác ADE cũng là tam giác cân tại A, nên góc DAE = góc DEA.

Vậy, ta có góc BAE = góc DEA.

Vì AB // DE (do AB và DE cắt nhau tại I), nên góc BAI = góc DEI (cùng chiều).

Vậy, ta có ∆AEI = ∆DEC (theo góc - góc - góc).

c) Ta có góc BAE = góc BEA = 45° (vì tam giác ABE là tam giác cân tại A).

Vì tam giác ABE là tam giác cân tại A, nên góc BAE = góc BEA = 45°.

Vì tam giác ADE cũng là tam giác cân tại A, nên góc DAE = góc DEA = 45°.

Vậy, ta có góc BAE = góc DAE = 45°.

Vì góc BAE = góc DAE = 45°, nên góc BAE + góc DAE = 90°.

Vì góc BAE + góc DAE = 90°, nên góc BAE và góc DAE là hai góc bù của nhau.

Vậy, ta có BE ⊥ CI.

d) Ta đã chứng minh được AE = DE.

Vì tam giác ABE là tam giác cân tại A, nên góc BAE = góc BEA = 45°.

Vì tam giác ADE cũng là tam giác cân tại A, nên góc DAE = góc DEA = 45°.

Vậy, ta có góc BAE = góc DAE = 45°.

Vì góc BAE = góc DAE = 45°, nên góc BAE + góc DAE = 90°.

Vì góc BAE + góc DAE = 90°, nên góc BAE và góc DAE là hai góc bù của nhau.

Vậy, ta có góc BAE + góc DEA = 90°.

Vì góc BAE + góc DEA = 90°, nên tam giác ABE và tam giác ADE là hai tam giác vuông cân.

Vậy, ta có AC > 2DE (theo bất đẳng thức tam giác vuông cân).