Cho đường tròn (O; R) với đường kinh AB cố định và điểm M thay đổi trên đường tròn (m khác a, m khác b)

a) Ta có:
- Gọi I là giao điểm của BM và CN.
- Gọi G là giao điểm của MN và CD.
- Gọi J là giao điểm của BN và CM.

Ta có:
- Vì M là điểm đối xứng của M qua tâm O nên OM là đường phân giác của góc BOC.
- Vì M là điểm đối xứng của M qua tâm O nên OM là đường phân giác của góc BOD.
- Vì M là điểm đối xứng của M qua tâm O nên OM là đường phân giác của góc BON.

Từ đó suy ra O là trung điểm của BC, BD và BN.

- Ta có:
∠BIC = ∠BMC = 90° (do BM là tiếp tuyến của đường tròn (O))
∠BGC = ∠BMC = 90° (do BM là tiếp tuyến của đường tròn (O))

Vậy tứ giác MNCD nội tiếp.

b) Ta có:
- Vì M là điểm đối xứng của M qua tâm O nên OM là đường phân giác của góc BOC.
- Vì M là điểm đối xứng của M qua tâm O nên OM là đường phân giác của góc BOD.

Từ đó suy ra O là trung điểm của OC và OD.

- Ta có:
∠BEC = ∠BAC = ∠BDC (do AB // CD)
∠BEF = ∠BAC = ∠BDC (do AB // CD)

Vậy điểm H là trực tâm của tam giác BEF.