Vì hình thang ABCD vuông tại A và D, ta có:

AB² + BC² = AD²
AB² + BC² = 12²
AB² + BC² = 144

Vì đường chéo BD vuông góc với BC, ta có:

AB² + BC² = BD²
144 + BC² = BD²

Vì DC = 25cm, ta có:

BC + CD = BD
BC + 25 = BD

Thay BC + CD = BD vào phương trình trên, ta có:

BC + 25 = 144 + BC²
BC² - BC + 119 = 0

Giải phương trình trên, ta có:

(BC - 7)(BC - 17) = 0

Vậy BC = 7 hoặc BC = 17.

Nếu BC = 7, ta có:

AB² + 7² = 144
AB² + 49 = 144
AB² = 144 - 49
AB² = 95
AB ≈ √95 ≈ 9.75

Nếu BC = 17, ta có:

AB² + 17² = 144
AB² + 289 = 144
AB² = 144 - 289
AB² = -145

Vì AB là độ dài, nên không thể có giá trị âm. Vậy BC = 17 không thỏa mãn.

Vậy độ dài các đoạn AB, BC và BD là:

AB ≈ 9.75cm
BC ≈ 7cm
BD ≈ √(AB² + BC²) ≈ √(9.75² + 7²) ≈ √(95 + 49) ≈ √144 ≈ 12cm