Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ thực hiện theo từng phần.

### a) Chứng minh \( \angle MAB = \angle MEC \)

1. **Xác định các yếu tố**:
- \( A \) là đỉnh của góc vuông, với \( \angle ABC = 90^\circ \).
- \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \).
- \( E \) là điểm trên tia đối của tia \( MA \) sao cho \( MA = ME \).
- Chúng ta cần chứng minh rằng \( \angle MAB = \angle MEC \).

2. **Xét các tam giác**:
- Tam giác \( MAB \) và tam giác \( MEC \) đều có cạnh \( MA \) chung.
- \( MA = ME \) (theo giả thiết).
- \( MB = MC \) (vì \( M \) là trung điểm của \( BC \)).

3. **Áp dụng định lý góc**:
- Do \( \triangle MAB \) và \( \triangle MEC \) có hai cạnh tương ứng bằng nhau (cạnh chung \( MA = ME \) và cạnh \( MB = MC \)) và chứa một góc bằng \( \angle AMB = 90^\circ \) (góc vuông tại \( A \)), ta có:
\[
\triangle MAB \cong \triangle MEC \quad \text{(theo tiêu chí GcG)}
\]
Từ đó suy ra:
\[
\angle MAB = \angle MEC
\]

### b) Vì sao \( AB \parallel EC \)?

- Từ a), ta đã chứng minh rằng \( \angle MAB = \angle MEC \).
- Theo tính chất các góc đồng vị, nếu hai góc bằng nhau thì các đường thẳng tạo ra chúng song song với nhau.
- Vì vậy, ta có \( AB \parallel EC \).

### c) Chứng minh \( \angle BEC \) vuông tại \( E \)

1. **Xét tam giác \( BEC \)**:
- Ta có \( MA = ME \) và \( \angle MAB = \angle MEC \).
- Từ a), kèm theo tính chất của tam giác vuông, ta sẽ chỉ ra rằng \( \angle BEC \) là góc vuông.

2. **Áp dụng kiến thức về góc**:
- Xét tổng các góc trong tam giác:
\[
\angle BEM + \angle MEC = 180^\circ
\]
Nhưng bởi vì \( \angle MEC = \angle MAB \) và \( \angle MAB + \angle BAE = 90^\circ \) (do tam giác \( MAB \) vuông tại \( A \)), ta có thể suy ra:
\[
\angle BEC = 180^\circ - \angle MAB - \angle MEC = 90^\circ
\]
Nên \( \angle BEC \) là góc vuông tại \( E \).

**Kết luận**: Ta đã chứng minh được cả ba phần của bài toán.