Ta có:
- Gọi I là giao điểm của AB và CD.
- Gọi E là giao điểm của MI và (O;r).
- Gọi F là giao điểm của MI và (O;R).

Ta có:
- Do AB là tiếp tuyến của (O;r) nên góc MEB = 90°.
- Do CD là tiếp tuyến của (O;r) nên góc MFD = 90°.
- Góc MEF = góc MEB + góc BEF = 90° + góc BEF.
- Góc MDF = góc MFD + góc DFE = 90° + góc DFE.

Ta cần chứng minh góc MEF = góc MDF.
Ta có:
- Góc MEF = 90° + góc BEF.
- Góc MDF = 90° + góc DFE.

Vậy góc MEF = góc MDF.
Do đó, ta có AB // CD (vì AB và CD là các tiếp tuyến của (O;r) và cắt nhau tại I).
Vậy 2 cung AB và CD bằng nhau.