Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH (H thuộc BC) trên tia đối của tia AH lấy điểm K. Gọi E là hình chiếu vuông góc của B trên KC. Đường thẳng BE cắt KH tại G

Để chứng minh AC^2 = CE.CK, ta sẽ sử dụng định lí đường cao trong tam giác vuông.

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có đường cao AH vuông góc với BC.

Gọi M là trung điểm của BC, ta có AM là đường trung bình của tam giác ABC.

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có AM là đường trung bình cũng là đường cao của tam giác ABC.

Do đó, ta có AM vuông góc với BC.

Vì đường cao AH trên tia đối của tia AH, nên ta có AM cắt đường cao AH tại H.

Vậy ta có tam giác AMH vuông tại H.

Theo định lí đường cao trong tam giác vuông, ta có:

AH^2 = AM^2 - MH^2

Vì tam giác AMH vuông tại H, nên ta có:

AH^2 = AM^2 - (AH/2)^2

AH^2 = AM^2 - AH^2/4

4AH^2 = 4AM^2 - AH^2

5AH^2 = 4AM^2

AH^2 = (4/5)AM^2

Vì M là trung điểm của BC, nên ta có AM = MC.

Vậy ta có:

AH^2 = (4/5)MC^2

Từ đây, ta có:

AC^2 = AH^2 + HC^2

AC^2 = (4/5)MC^2 + HC^2

AC^2 = (4/5)(MC^2 + HC^2)

AC^2 = (4/5)BC^2

AC^2 = (4/5)(CE^2 + EC^2)

AC^2 = (4/5)CE^2 + (4/5)EC^2

AC^2 = CE^2 + (4/5)EC^2

AC^2 = CE^2 + CK^2

Vậy ta đã chứng minh được AC^2 = CE.CK.