a) Ta có:
$\angle ABD = \angle DBH$ (do $BD$ là phân giác của $\angle B$)
$\angle ADB = \angle HDB$ (do $AD$ là phân giác của $\angle A$)
Vậy tam giác $ABD$ có hai góc bằng nhau với tam giác $HBD$, nên ta có $ABD = HBD$.

b) Ta cần chứng minh $BD$ là đường trung trực của $AH$, tức là $BD$ vuông góc với $AH$ và đi qua trung điểm của $AH$.

Gọi $M$ là trung điểm của $AH$. Ta cần chứng minh $BD$ vuông góc với $AH$ và đi qua $M$.

Vì $AD$ là phân giác của $\angle A$, nên $\angle ADM = \angle DMA$.
Vì $DH$ là phân giác của $\angle ADM$, nên $\angle HDK = \angle KDM$.
Vì $DK = DC$, nên $\angle KDM = \angle CDM$.
Vậy ta có $\angle HDK = \angle CDM$.

Vì $DH$ vuông góc với $BC$, nên $\angle HDK = \angle HDB + \angle BDK = \angle CDM$.
Vậy ta có $\angle HDB = \angle CDM$.

Vì $AB$ vuông góc với $BC$, nên $\angle ABD = \angle CDM$.
Vậy ta có $\angle ABD = \angle HDB$.

Vậy ta có $\angle ABD = \angle HDB$ và $\angle ADM = \angle DMA$, nên tam giác $ABD$ và tam giác $HBD$ có hai góc bằng nhau, nên $BD$ là đường trung trực của $AH$.

c) Ta cần chứng minh $B, A, K$ thẳng hàng, tức là $BK$ đi qua $A$.

Vì $DK = DC$, nên $\angle KDC = \angle DCK$.
Vì $DH$ là phân giác của $\angle ADC$, nên $\angle HDK = \angle KDC$.
Vậy ta có $\angle HDK = \angle DCK$.

Vì $DH$ vuông góc với $BC$, nên $\angle HDK = \angle HDB + \angle BDK = \angle DCK$.
Vậy ta có $\angle HDB = \angle DCK$.

Vì $AB$ vuông góc với $BC$, nên $\angle ABD = \angle DCK$.
Vậy ta có $\angle ABD = \angle HDB$.

Vậy ta có $\angle ABD = \angle HDB$ và $\angle HDK = \angle DCK$, nên tam giác $ABD$ và tam giác $HDB$ có hai góc bằng nhau, nên $BK$ đi qua $A$.