a) Ta có tam giác ABC cân ở A, nên góc BAC = góc BCA. Mà góc BAC = góc BCA = 90 độ (vì tam giác ABC cân), nên tam giác ABC vuông tại A.
Do đó, tam giác ABC là tam giác vuông cân.
Tam giác BDH cũng là tam giác vuông cân với góc BDH = góc BHD = 45 độ (vì tam giác ABC vuông tại A).
Vậy tam giác BDH đồng dạng với tam giác ABC.

b) Gọi M là trung điểm của BC.
Ta có: AM là đường cao của tam giác ABC, nên AM = BM = CM = 60 cm.
Vì tam giác ABC cân ở A, nên đường cao AH cắt BM tại trung điểm N của BM.
Do đó, AN = NH = 30 cm.
Vì tam giác BDH đồng dạng với tam giác ABC, nên tỉ số đồng dạng là: BD/AB = DH/AH.
Từ đó, ta có: DH = (BD/AB) * AH = (60/100) * 30 = 18 cm.
Vì tam giác BDH là tam giác vuông cân, nên BH = HD = 18 cm.
Vì tam giác ABC cân ở A, nên đường cao BE cắt CM tại trung điểm K của CM.
Do đó, CK = KE = 60 cm.
Vì tam giác BDH đồng dạng với tam giác ABC, nên tỉ số đồng dạng là: BD/AB = DH/HE.
Từ đó, ta có: HE = (AB/BD) * DH = (100/60) * 18 = 30 cm.

Vậy: HD = AH = BH = 18 cm và HE = 30 cm.