Bài 1: Ta có tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC. Gọi E và F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A và C đến đường thẳng BM. Khi đó, ta có: - Tam giác ABE vuông tại E (do AE vuông góc với BM). - Tam giác CBF vuông tại F (do CF vuông góc với BM). - Tam giác ABC vuông tại A. Áp dụng định lý Pythagore, ta có: AB^2 = AE^2 + BE^2 (1) BC^2 = BM^2 + CM^2 (2) AC^2 = AF^2 + CF^2 (3) Vì M là trung điểm của AC, nên CM = AM và CF = FM. Thay CM = AM và CF = FM vào (2) và (3), ta được: BC^2 = BM^2 + AM^2 (4) AC^2 = AF^2 + FM^2 (5) Từ (1), (4) và (5), ta có: AB^2 = AE^2 + BE^2 = (AM^2 + ME^2) + BE^2 = AM^2 + (ME^2 + BE^2) = AM^2 + BM^2 (vì ME^2 + BE^2 = BM^2, do tam giác BME vuông tại E) = BC^2 Do đó, AB = BC. Vậy ta có AB = BC = AC/√2. Từ đó, ta có: BE + BF = BM (vì BM là đường cao của tam giác ABC) Vậy AB < BE + BF^2.

Bài 2: Ta có tam giác cân ABC, với độ dài hai cạnh của nó bằng 3dm và 5dm. Vì tam giác cân nên hai cạnh đối xứng qua đường trung trực của nó. Gọi x là độ dài của cạnh đối xứng với cạnh 3dm. Ta có: x + 3 = 5 (vì tổng hai cạnh đối xứng bằng cạnh còn lại) Suy ra: x = 2 Vậy cạnh đối xứng với cạnh 3dm có độ dài là 2dm. Chu vi của tam giác ABC là: 3 + 5 + 2 = 10dm.

Bài 3: Ta có tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Gọi AM = x, BM = MC = y. Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có: AB + AC > BC (1) AB + AC > 2AM (2) Từ (1) và (2), ta có: AB + AC > BC > 2AM Vậy AB + AC > 2AM