a) Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên AH là đường cao của tam giác ABC. Khi kẻ HD vuông góc với AB tại D, ta có tam giác AHD vuông tại H. Do đó, theo định lí Pythagoras, ta có:

AH² = AD² + DH²

Vì DM = DH, nên ta có:

AH² = AD² + DM²

Vì tam giác AHD vuông tại H, nên ta có:

AH² = AD² + HD²

Do đó, ta có:

AD² + DM² = AD² + HD²

DM² = HD²

Vậy, DM = DH.

Ta có tam giác AHD vuông tại H, nên góc AHD = 90°. Vì DM = DH, nên tam giác DHM cũng vuông tại H. Do đó, góc AMB = 90°.

Vì AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH cũng là đường cao của tam giác AMB. Vậy, AH = AM.

b) Tương tự, ta có tam giác ABC vuông tại A, nên AH là đường cao của tam giác ABC. Khi kẻ HE vuông góc với AC tại E, ta có tam giác AEH vuông tại H. Do đó, theo định lí Pythagoras, ta có:

AH² = AE² + EH²

Vì EH = EN, nên ta có:

AH² = AE² + EN²

Vì tam giác AEH vuông tại H, nên ta có:

AH² = AE² + HE²

Do đó, ta có:

AE² + EN² = AE² + HE²

EN² = HE²

Vậy, EN = EH.

Ta có tam giác AEH vuông tại H, nên góc AEH = 90°. Vì EN = EH, nên tam giác EHN cũng vuông tại H. Do đó, góc ANE = 90°.

Vì AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH cũng là đường cao của tam giác ANE. Vậy, AH = AN.

Vì AH = AM và AH = AN, nên ta có AM = AN.

Vậy, A là trung điểm của MN.