Để chứng minh ba điểm M, O, N thẳng hàng, ta cần chứng minh tứ giác MPNQ là hình bình hành.

Vì P và Q lần lượt là trung điểm của OB và OD, nên ta có:
OP = OB/2 và OQ = OD/2.

Vì tứ giác MPNQ là hình bình hành, nên ta có:
MN = PQ.

Ta cần chứng minh AC, MN, PQ đồng quy. Để làm điều này, ta sẽ chứng minh tứ giác ACMP là tứ giác điều hòa.

Vì P là trung điểm của OB, nên ta có OP = OB/2.
Vì M là trung điểm của PM, nên ta có MP = 2OM.

Vì tứ giác ACMP là tứ giác điều hòa, nên ta có:
AC/MP = OC/OP.

Thay giá trị vào, ta có:
AC/(2OM) = OC/(OB/2).

Tương tự, ta chứng minh được tứ giác ACNQ là tứ giác điều hòa:
AC/(2ON) = OC/(OD/2).

Từ hai phương trình trên, ta có:
AC/MP = AC/(2OM) = OC/(OB/2) = OC/OP = AC/(2ON) = AC/(2OM).

Do đó, ta có MP = ON.

Vậy ta có tứ giác ACMP là tứ giác điều hòa, từ đó suy ra AC, MN, PQ đồng quy.

Từ đó, ta có ba điểm M, O, N thẳng hàng.