Để tìm số tự nhiên n, ta cần tìm giá trị của A.

Ta có công thức tổng của một dãy số hình thành bởi cấp số cộng với công bội q:

S = a * (q^n - 1) / (q - 1)

Trong trường hợp này, a = 1, q = 4 và n = 2000.

A = 1 + 4 + 4^2 + 4^3 + ... + 4^2000
= 1 * (4^2000 - 1) / (4 - 1)
= (4^2000 - 1) / 3

Tiếp theo, ta có phương trình:

15A + 1 = 2n

Thay A = (4^2000 - 1) / 3 vào phương trình:

15 * ((4^2000 - 1) / 3) + 1 = 2n

(4^2000 - 1) / 3 = (2n - 1) / 15

Để giải phương trình này, ta cần tìm một giá trị nguyên dương của n sao cho (2n - 1) chia hết cho 15.

Ta thử một số giá trị của n và kiểm tra điều kiện:

Khi n = 1, (2n - 1) / 15 = (2 - 1) / 15 = 1/15 không phải là số nguyên.
Khi n = 2, (2n - 1) / 15 = (4 - 1) / 15 = 3/15 không phải là số nguyên.
Khi n = 3, (2n - 1) / 15 = (6 - 1) / 15 = 5/15 không phải là số nguyên.
Khi n = 4, (2n - 1) / 15 = (8 - 1) / 15 = 7/15 không phải là số nguyên.
Khi n = 5, (2n - 1) / 15 = (10 - 1) / 15 = 9/15 không phải là số nguyên.
Khi n = 6, (2n - 1) / 15 = (12 - 1) / 15 = 11/15 không phải là số nguyên.
Khi n = 7, (2n - 1) / 15 = (14 - 1) / 15 = 13/15 không phải là số nguyên.
Khi n = 8, (2n - 1) / 15 = (16 - 1) / 15 = 15/15 = 1 là số nguyên.

Vậy, số tự nhiên n cần tìm là 8.