Để chứng minh điều phải chứng minh, ta sẽ sử dụng định lý Pythagoras và tính chất của tam giác vuông.

Gọi I là giao điểm của đường thẳng xy và đường tròn (O;R). Ta cần chứng minh rằng I là điểm duy nhất trên đường thẳng xy mà có khoảng cách đến O bằng R.

Gọi N là giao điểm của đường thẳng xy và đường tròn (O;R). Ta cần chứng minh rằng N là điểm duy nhất trên đường thẳng xy mà có khoảng cách đến O bằng R.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác OAN, ta có:

OA^2 = ON^2 + AN^2

Vì OA = R và AN = AM - MN = a - MN, ta có:

R^2 = ON^2 + (a - MN)^2

Vì đường thẳng xy vuông góc với AB, ta có MN = AB = R. Thay vào phương trình trên, ta có:

R^2 = ON^2 + (a - R)^2

R^2 = ON^2 + a^2 - 2aR + R^2

2aR = ON^2 + a^2

ON^2 = 2aR - a^2

Để ON = R, ta có:

2aR - a^2 = R^2

a^2 - 2aR + R^2 = 0

(a - R)^2 = 0

a - R = 0

a = R

Vậy, ta có điểm duy nhất N trên đường thẳng xy mà có khoảng cách đến O bằng R khi a = R.

Tuy nhiên, ta cần chứng minh rằng không có điểm nào khác trên đường thẳng xy mà có khoảng cách đến O bằng R.

Giả sử tồn tại điểm M' trên đường thẳng xy mà có khoảng cách đến O bằng R. Khi đó, ta có:

OM' = R

Vì đường thẳng xy vuông góc với AB, ta có:

AM' = AB = R

Vậy, ta có AM' = R và OM' = R, suy ra tam giác OAM' là tam giác đều.

Tuy nhiên, ta đã biết rằng AM = a < R, suy ra tam giác OAM không thể là tam giác đều.

Vậy, không tồn tại điểm nào khác trên đường thẳng xy mà có khoảng cách đến O bằng R.

Từ đó, ta có điều phải chứng minh.

Vậy, đường thẳng xy và đường tròn (O;R) chỉ có điểm chung khi a lớn hơn hoặc bằng 3R/2.