Cho tam giác ABC cân tại A, trên cạnh AB lấy điểm D trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD = CE

a) Ta có BD = CE (theo đề bài).
Gọi I là trung điểm của DE. Ta cần chứng minh I nằm trên BC.
Gọi M là trung điểm của BC. Ta cần chứng minh I = M.
Vì DH vuông góc với BC nên DH song song với AM (do tam giác ABC cân tại A).
Tương tự, EK song song với AM.
Do đó, DH và EK cắt nhau tại M (do DH và EK đều vuông góc với BC và đi qua M).
Vậy, I = M là trung điểm của DE.

b) Ta đã chứng minh I là trung điểm của DE (theo câu a).

c) Ta đã chứng minh BD = CE (theo đề bài).
Vì I là trung điểm của DE (theo câu b), nên DI = IE.
Do đó, BD + DI = CE + IE.
Từ đó, BD + DE = CE + DE.
Suy ra, BC = DE.

d) Chu vi tam giác ABC là AB + BC + CA.
Chu vi tam giác ADE là AD + DE + EA.
Vì BD = CE (theo đề bài), nên AD = AE.
Do đó, chu vi tam giác ADE là AD + DE + EA = AD + BD + CE = AB + BC + CA.
Vậy, chu vi tam giác ABC bằng chu vi tam giác ADE.