Tìm GTLN, GTNN của P = x+10√x+27/√x+5 ( x> hoặc = 0, x khác 25)

Để tìm GTLN và GTNN của biểu thức P = x + 10√(x + 27)/(√x + 5), ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm.

Đầu tiên, ta tính đạo hàm của biểu thức P theo x:
P' = 1 + 10(1/2)(x + 27)^(-1/2)/(√x + 5) - 10√(x + 27)/(2(√x + 5)^2)

Tiếp theo, ta giải phương trình P' = 0 để tìm các điểm cực trị của P:
1 + 10(1/2)(x + 27)^(-1/2)/(√x + 5) - 10√(x + 27)/(2(√x + 5)^2) = 0

Simplifying the equation:
1 + 5/(√x + 5) - 5√(x + 27)/(√x + 5)^2 = 0

Đặt a = √(x + 27), ta có:
1 + 5/(a + 5) - 5a/(a + 5)^2 = 0

Nhân cả hai vế của phương trình với (a + 5)^2 để loại bỏ mẫu số:
(a + 5)^2 + 5(a + 5) - 5a = 0

Mở ngoặc và rút gọn:
a^2 + 10a + 25 + 5a + 25 - 5a = 0
a^2 + 10a + 50 = 0

Giải phương trình trên, ta được hai nghiệm:
a = -5 ± √(-5)^2 - 4(1)(50) / (2*1)
a = -5 ± √25 - 200 / 2
a = -5 ± √(-175) / 2

Vì x > 0, nên a > 0. Do đó, ta chỉ xét nghiệm a = -5 + √(-175) / 2.

Từ đó, ta tính được x = a^2 - 27:
x = (-5 + √(-175))^2 - 27

Tuy nhiên, vì căn bậc hai của một số âm không tồn tại trong tập số thực, nên phương trình trên không có nghiệm thực.

Vậy, không tồn tại GTLN và GTNN của biểu thức P = x + 10√(x + 27)/(√x + 5) trong miền x > hoặc = 0 và x khác 25.