Để chứng minh SABC = h²/4sinαcosα, ta sẽ sử dụng công thức tính diện tích tam giác bằng cạnh và góc giữa chúng.

Gọi BC = a là cạnh đáy của tam giác ABC.
Gọi H là chân đường cao từ A xuống BC.
Gọi M là trung điểm của BC.

Ta có:
SABC = 1/2 * BC * AH (1)
SABC = 1/2 * a * h (2)

Vì tam giác ABC cân tại A, nên ta có:
AH = AM = MC = a/2

Gọi β là góc giữa đường cao AH và cạnh BC.
Ta có:
sinβ = AH / AC = a/2 / AC = a/2h (3)

Gọi γ là góc giữa đường cao AH và cạnh AB.
Ta có:
sinγ = AH / AB = a/2 / AB = a/2h (4)

Vì α + β + γ = 180°, nên:
α + 2arcsin(a/2h) = 180°
α = 180° - 2arcsin(a/2h) (5)

Đặt t = arcsin(a/2h), ta có:
sin(t) = a/2h
cos(t) = √(1 - sin²(t)) = √(1 - a²/4h²)

Từ (5), ta có:
α = 180° - 2t = 180° - 2arcsin(a/2h)

Áp dụng công thức diện tích tam giác bằng cạnh và góc giữa chúng, ta có:
SABC = 1/2 * a * h * sinα
= 1/2 * a * h * sin(180° - 2arcsin(a/2h))
= 1/2 * a * h * sin(2arcsin(a/2h))
= 1/2 * a * h * 2(a/2h) * √(1 - (a/2h)²)
= a²/2 * √(1 - a²/4h²)

Vì sin2α = 2sinαcosα, nên:
SABC = a²/2 * √(1 - a²/4h²)
= a²/2 * √((4h² - a²)/4h²)
= a²/2 * √(4h² - a²) / 2h
= a² * √(4h² - a²) / 4h

Vì sinαcosα = 1/2 * sin2α, nên:
SABC = a² * √(4h² - a²) / 4h
= a² * √(4h² - a²) / 4h * 2sinαcosα
= a² * √(4h² - a²) / 4h * sinαcosα

Vậy ta có SABC = h²/4sinαcosα.