Để đa thức x^4 - x^3 + 6x^2 - x + n chia hết cho đa thức x^2 + x + 5, ta cần tìm giá trị của n sao cho phép chia là 0.

Theo định lý chia đa thức, nếu đa thức A(x) chia hết cho đa thức B(x) thì A(-b/a) = 0, trong đó b và a lần lượt là hệ số của x và x^2 trong đa thức B(x).

Trong trường hợp này, đa thức B(x) = x^2 + x + 5 có hệ số b = 1 và a = 1. Vì vậy, ta cần tìm n sao cho đa thức x^4 - x^3 + 6x^2 - x + n có giá trị bằng 0 khi x = -1.

Thay x = -1 vào đa thức ta có:
(-1)^4 - (-1)^3 + 6(-1)^2 - (-1) + n = 0
1 + 1 + 6 + 1 + n = 0
n + 9 = 0
n = -9

Vậy, để đa thức x^4 - x^3 + 6x^2 - x + n chia hết cho đa thức x^2 + x + 5, ta cần n = -9.