Để chứng minh ADKE là hình bình hành, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối nhau của nó bằng nhau và hai đường chéo của nó cắt nhau ở trung điểm.

Gọi M là trung điểm của BC, ta cần chứng minh AM là đường trung tuyến của tam giác BCK.

Vì tam giác BCK là tam giác đều, nên ta có:
BC = CK = BK.

Vì tam giác ABC là tam giác đều, nên ta có:
AB = AC.

Vì tam giác ABD và ACD là tam giác đều, nên ta có:
AB = AD và AC = AE.

Vì tam giác ABC và tam giác ABD có cạnh chung AB và cạnh đối nhau BC bằng nhau, nên ta có:
Tam giác ABC ≅ Tam giác ABD (theo định lý cạnh - góc - cạnh).

Tương tự, ta có:
Tam giác ABC ≅ Tam giác ACE (theo định lý cạnh - góc - cạnh).

Do đó, ta có:
Tam giác ABD ≅ Tam giác ACE (theo định lý tam giác đồng dạng).

Vậy, ta có:
AD = AE.

Vì tam giác ABD và tam giác ACE có cạnh chung AD và cạnh đối nhau BD, CE bằng nhau, nên ta có:
Tam giác ABD ≅ Tam giác ACE (theo định lý cạnh - góc - cạnh).

Do đó, ta có:
∠DAE = ∠DAB + ∠BAE = ∠DAC + ∠CAE = ∠DAE.

Vậy, ta có:
∠DAE = ∠DAE.

Vậy, ta có:
Tam giác ADE là tam giác cân.

Vì tam giác ADE là tam giác cân và AM là đường trung tuyến của tam giác BCK, nên ta có:
AM là đường trung tuyến của tam giác BCK.

Vậy, ta có:
ADKE là hình bình hành (theo định lý hình bình hành).