Để chứng minh các phần a, b, c và d, ta sẽ sử dụng các định lí và tính chất của tam giác.

Hình vẽ:

```
B
/ \
/ \
/ \
/ \
/ \
/ \
/ \
A---------------C
D E
```

a) Ta có AD = AE (theo đề bài). Vì AB = AC (tam giác ABC có AB = AC), nên tam giác ABD và tam giác ACE là tam giác cân. Do đó, ta có BD = CD và BE = CE. Từ đó suy ra BE = CD.

b) Gọi O là giao điểm của BE và CD. Ta cần chứng minh ΔBOD = ΔCOE.

Ta có:

- Góc BOD = Góc COE (do BE // CD và BO là đường phân giác của góc ABC, CO là đường phân giác của góc ACB)
- Góc OBD = Góc OCE (do BD = CD và BE = CE)
- Góc BDO = Góc CDO (do BD = CD)

Vậy, ta có ΔBOD = ΔCOE (theo ĐĐC).

c) Ta cần chứng minh AO là tia phân giác của góc BAC.

Gọi F là giao điểm của AO và BC.

Ta có:

- Góc BAF = Góc CAF (do AB = AC)
- Góc BFA = Góc CFA (do BF = CF)
- Góc AFB = Góc AFC (do AF là đường phân giác của góc BAC)

Vậy, ta có ΔBAF = ΔCAF (theo ĐĐC). Từ đó suy ra góc BAF = góc CAF. Do đó, AO là tia phân giác của góc BAC.

d) Gọi M là trung điểm của BC.

Ta cần chứng minh A, O, M thẳng hàng.

Vì M là trung điểm của BC, nên BM = MC. Ta có:

- Góc BMO = Góc CMO (do BM = MC)
- Góc BOM = Góc COM (do BO là đường phân giác của góc ABC, CO là đường phân giác của góc ACB)

Vậy, ta có ΔBOM = ΔCOM (theo ĐĐC). Từ đó suy ra góc BMO = góc CMO. Do đó, A, O, M thẳng hàng.