Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB; AC lần lượt lấy các điểm D; E sao cho AD = CE. Gọi M; N; K; L lần lượt là trung điểm của AD; AE; DC; BE. Chứng minh tứ giác MNKL là hình thang cân

Để chứng minh tứ giác MNKL là hình thang cân, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối nhau của tứ giác này bằng nhau và hai đường chéo của tứ giác này cắt nhau tại trung điểm.

Gọi I là trung điểm của AB. Ta có:
- Vì AD = CE, nên M là trung điểm của AD và N là trung điểm của AE.
- Vì I là trung điểm của AB, nên K là trung điểm của DC và L là trung điểm của BE.

Ta cần chứng minh:
1. MN = KL
2. MN || KL
3. MN cắt KL tại I, trung điểm của AB.

1. Ta có: MN = AM - AN (vì M, N lần lượt là trung điểm của AD, AE)
= (AD + DM) - (AE + EN) (vì M, N lần lượt là trung điểm của AD, AE)
= (AD + DC/2) - (AE + BE/2) (vì D, E lần lượt là trung điểm của DC, BE)
= (AD + DC/2) - (CE + BE/2) (vì AD = CE)
= (AD - CE) + (DC/2 - BE/2)
= 0 + (DC - BE)/2
= KL/2 (vì K, L lần lượt là trung điểm của DC, BE)

Vậy ta có MN = KL/2.

2. Ta có: MN || AB (vì M, N lần lượt là trung điểm của AD, AE)
KL || AB (vì K, L lần lượt là trung điểm của DC, BE)

Vậy ta có MN || KL.

3. Ta cần chứng minh MN cắt KL tại I, trung điểm của AB.

Ta có: MI = MA - AI (vì M là trung điểm của AD)
= (AD + DM) - AI (vì M là trung điểm của AD)
= (AD + DC/2) - AI (vì D là trung điểm của DC)
= (AD + DC/2) - (AB/2) (vì I là trung điểm của AB)
= (AD - AB/2) + DC/2
= 0 + DC/2
= KC (vì K là trung điểm của DC)

Ta cũng có: NI = NE - IE (vì N là trung điểm của AE)
= (AE + EN) - IE (vì N là trung điểm của AE)
= (AE + BE/2) - IE (vì E là trung điểm của BE)
= (AE + BE/2) - (AB/2) (vì I là trung điểm của AB)
= (AE - AB/2) + BE/2
= 0 + BE/2
= LB (vì L là trung điểm của BE)

Vậy ta có MI = KC và NI = LB.

Vậy ta có MN cắt KL tại I, trung điểm của AB.

Từ các chứng minh trên, ta có thể kết luận rằng tứ giác MNKL là hình thang cân.