Để chứng minh DE=BC*cosA, ta sẽ sử dụng định lí cosin trong tam giác ABC.

a) Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABD, ta có:
BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2*AB*AD*cosA

Tương tự, áp dụng định lí cosin trong tam giác ACE, ta có:
CE^2 = AC^2 + AE^2 - 2*AC*AE*cosA

Vì BD=CE (đường cao của tam giác ABC), nên ta có:
AB^2 + AD^2 - 2*AB*AD*cosA = AC^2 + AE^2 - 2*AC*AE*cosA

Simplifying, ta có:
AB^2 - AC^2 + AD^2 - AE^2 = 2*AB*AD*cosA - 2*AC*AE*cosA

Vì AB=AC (đáy của tam giác ABC), nên ta có:
AD^2 - AE^2 = 2*AB*AD*cosA - 2*AC*AE*cosA

Simplifying, ta có:
AD^2 - AE^2 = 2*AD*cosA*(AB - AC)

Vì AB - AC = BC (đáy của tam giác ABC), nên ta có:
AD^2 - AE^2 = 2*AD*cosA*BC

Dividing cả hai vế cho BC, ta có:
(AD^2 - AE^2)/BC = 2*AD*cosA

Vì DE=AD-AE, nên ta có:
DE/BC = 2*AD*cosA

Vậy, DE=BC*cosA.

b) Để ΔMDE là tam giác đều, ta cần có DE=DM=ME.

Từ phần a), ta biết rằng DE=BC*cosA.

Vì M là trung điểm của BC, nên DM=ME=BC/2.

Vậy, ta có phương trình:
BC*cosA = BC/2

Simplifying, ta có:
cosA = 1/2

Để tìm giá trị góc A, ta sử dụng bảng giá trị của cosin. Ta thấy rằng cosA=1/2 tương ứng với góc A là 60 độ.

Vậy, để ΔMDE là tam giác đều, góc A cần có giá trị là 60 độ.