Để chứng minh rằng một số chia hết cho một số khác, ta cần chứng minh rằng phép chia của hai số đó không có dư.

1. Chứng minh rằng c = 81^7 - 27^9 - 9^13 chia hết 45:
Ta biểu diễn c = (3^4)^7 - (3^3)^9 - (3^2)^13
= 3^(4*7) - 3^(3*9) - 3^(2*13)
= 3^28 - 3^27 - 3^26
= 3^26 * (3^2 - 3 - 1)

Ta biết rằng 3^2 - 3 - 1 = 9 - 3 - 1 = 5 chia hết cho 5.
Vì vậy, c = 3^26 * 5 chia hết cho 5.

Ta biết rằng 3^26 chia hết cho 9 (vì 26 > 2 và 3^2 = 9).
Vì vậy, c = 3^26 * 5 chia hết cho 9.

Vậy, c chia hết cho cả 5 và 9, nên c chia hết cho 45.

2. Chứng minh rằng d = 10^9 + 10^8 + 10^7 chia hết cho 555 và 222:
Ta biểu diễn d = 10^7 * (10^2 + 10 + 1) + 10^8 + 10^9
= 10^7 * (100 + 10 + 1) + 10^8 + 10^9
= 10^7 * 111 + 10^8 + 10^9
= 111 * (10^7) + 10^8 + 10^9

Ta biết rằng 111 chia hết cho 3 và 37 (111 = 3 * 37).
Vì vậy, 111 * (10^7) chia hết cho cả 3 và 37.

Ta biết rằng 10^8 chia hết cho 222 (10^8 = 222 * 450450).
Vì vậy, 10^8 chia hết cho 222.

Ta biết rằng 10^9 chia hết cho 555 (10^9 = 555 * 1801801).
Vì vậy, 10^9 chia hết cho 555.

Vậy, d = 111 * (10^7) + 10^8 + 10^9 chia hết cho cả 3, 37, 222 và 555.

3. Chứng minh rằng f = 16^5 + 2^15 chia hết cho 33:
Ta biểu diễn f = (2^4)^5 + 2^15
= 2^(4*5) + 2^15
= 2^20 + 2^15
= 2^15 * (2^5 + 1)
= 2^15 * (32 + 1)
= 2^15 * 33

Vì vậy, f = 2^15 * 33 chia hết cho 33.

Vậy, c, d và f đều chia hết cho các số được yêu cầu.