Tìm số nguyên n để phân số n-1/n^2+2 có giá trị nguyên

Để phân số $\frac{n-1}{n^2+2}$ có giá trị nguyên, ta cần tìm giá trị của $n$ sao cho $n^2+2$ chia hết cho $n-1$.

Ta có thể sử dụng phương pháp chia dư để giải bài toán này. Gọi $k$ là số nguyên thương của phép chia $n^2+2$ cho $n-1$, ta có:

$n^2+2 = k(n-1) + r$

Trong đó, $r$ là số dư và thỏa mãn $0 \leq r < n-1$.

Để phân số có giá trị nguyên, ta cần $r = 0$. Khi đó, ta có:

$n^2+2 = k(n-1)$

$n^2+2 = kn - k$

$n^2 - kn + (2 + k) = 0$

Đây là một phương trình bậc hai. Để phương trình có nghiệm nguyên, ta cần $\Delta = k^2 - 4(2+k)$ là một số chính phương.

$\Delta = k^2 - 8 - 4k = (k-4)^2 - 16$

Để $\Delta$ là một số chính phương, ta cần $(k-4)^2 - 16$ là một số chính phương. Ta xét các trường hợp:

1. $(k-4)^2 - 16 = 0 \Rightarrow (k-4)^2 = 16 \Rightarrow k-4 = \pm 4 \Rightarrow k = 0, 8$

2. $(k-4)^2 - 16 = 1 \Rightarrow (k-4)^2 = 17$ (không có nghiệm nguyên)

3. $(k-4)^2 - 16 = 4 \Rightarrow (k-4)^2 = 20$ (không có nghiệm nguyên)

4. $(k-4)^2 - 16 = 9 \Rightarrow (k-4)^2 = 25 \Rightarrow k-4 = \pm 5 \Rightarrow k = -1, 9$

5. $(k-4)^2 - 16 = 16 \Rightarrow (k-4)^2 = 32$ (không có nghiệm nguyên)

6. $(k-4)^2 - 16 = 25 \Rightarrow (k-4)^2 = 41$ (không có nghiệm nguyên)

7. $(k-4)^2 - 16 = 36 \Rightarrow (k-4)^2 = 52$ (không có nghiệm nguyên)

8. $(k-4)^2 - 16 = 49 \Rightarrow (k-4)^2 = 65$ (không có nghiệm nguyên)

Từ các trường hợp trên, ta có các giá trị của $k$ là $-1, 0, 9, 8$. Thay giá trị của $k$ vào phương trình $n^2 - kn + (2 + k) = 0$, ta tìm được các giá trị của $n$ là $-1, 1, 3, 4, 5, 7, 9, 10$.

Vậy, có tám giá trị của $n$ để phân số $\frac{n-1}{n^2+2}$ có giá trị nguyên.