Chi tam giác ABC, các trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Gọi H là trung điểm của GB, k là trung điểm GC

a, Để chứng minh tứ giác DEHK là hình bình hành, ta cần chứng minh DE = HK và DH || EK.

Ta có:
- Vì BD là trung tuyến nên BD = DC, suy ra BH = HC.
- Vì CE là trung tuyến nên CE = EB, suy ra CK = KB.
- Vì H là trung điểm của GB nên GH = HB.
- Vì K là trung điểm của GC nên GK = KC.

Do đó, ta có:
DE = DC + CE = BD + EB = BH + CK = GH + GK = HK.

Vì GH = HB và GK = KC, nên ta có GH || KC. Tương tự, ta cũng có HK || GC.

Vậy, ta đã chứng minh được DE = HK và DH || EK, từ đó suy ra tứ giác DEHK là hình bình hành.

b, Để chứng minh ba điểm A, G, M thẳng hàng, ta cần chứng minh AM || BD và AM || CE.

Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC. Vì BD là trung tuyến nên BD = DC.

Do đó, ta có BM = MC và BD = DC, suy ra BM || BD và MC || DC.

Tương tự, ta cũng có BM || CE và MC || CE.

Vậy, ta đã chứng minh được AM || BD và AM || CE, từ đó suy ra ba điểm A, G, M thẳng hàng.

c, Để tứ giác ADHK là hình chữ nhật, ta cần chứng minh AH = DK và AD || HK.

Vì H là trung điểm của GB nên GH = HB. Vì K là trung điểm của GC nên GK = KC.

Do đó, ta có GH = HB và GK = KC, suy ra GH || KC.

Vì DE = HK và GH || KC, nên ta có DE || HK.

Vậy, ta đã chứng minh được AD || HK và AH = DK, từ đó suy ra tứ giác ADHK là hình chữ nhật.