Để chứng minh các câu hỏi trên, ta sẽ sử dụng các định lí và tính chất của hình học và đường tròn.

1. Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp:
Ta có AM là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên góc MAB = góc MOB (cùng là góc tiếp tuyến và góc nội tiếp chắn cùng cung). Tương tự, góc MBA = góc MOA. Vậy tứ giác AMBO nội tiếp.

2. Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn:
Ta có góc MAB = góc MOB (từ câu 1), và góc MKA = góc MPA (cùng là góc cát tuyến). Vậy góc MOB = góc MPA. Tương tự, ta có góc MBA = góc MPA. Vậy tứ giác MPOB nội tiếp. Từ đó suy ra năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn.

3. Chứng minh OI.OM = R^2; OI.IM = IA^2:
Ta có tứ giác AMBO nội tiếp (từ câu 1), nên góc MOB = góc MAB. Từ đó, ta có góc MOB = góc MOA = góc MIA (cùng là góc nội tiếp chắn cùng cung). Vậy tứ giác OIMA nội tiếp. Từ đó suy ra OI.OM = OA^2 = R^2. Tương tự, ta có OI.IM = OB^2 = R^2.

4. Chứng minh OAHB là hình thoi:
Ta có góc OAB = góc OMB (từ câu 1), và góc OBA = góc OMA (cùng là góc nội tiếp chắn cùng cung). Vậy tứ giác OAMB nội tiếp. Từ đó suy ra góc OAH = góc OMB = góc OBA = góc OHB. Tương tự, ta có góc OHA = góc OAB = góc OMB = góc OHB. Vậy tứ giác OAHB là hình thoi.

5. Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng:
Ta có góc OHA = góc OMA (từ câu 4), và góc OAH = góc OAM (cùng là góc nội tiếp chắn cùng cung). Vậy tứ giác OAHM nội tiếp. Từ đó suy ra góc OHM = góc OAM = góc OAB = góc OMB. Vậy ba điểm O, H, M thẳng hàng.

6. Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d:
Khi M di chuyển trên đường thẳng d, ta có tứ giác AMBO nội tiếp (từ câu 1), nên góc MOB = góc MAB = góc OAB = góc OMB (cùng là góc nội tiếp chắn cùng cung). Vậy góc MOB là góc không đổi khi M di chuyển trên đường thẳng d. Từ đó suy ra quỹ tích của điểm H là không đổi khi M di chuyển trên đường thẳng d.