Để chứng minh rằng nếu a^2 + b^2 + c^2 ≤ 8 thì ab + bc + 2ca ≥ -8, ta sẽ sử dụng phương pháp đối chứng.

Giả sử a^2 + b^2 + c^2 ≤ 8 và ab + bc + 2ca < -8.

Ta có:
(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)
Vì a^2 + b^2 + c^2 ≤ 8 và ab + bc + 2ca < -8, nên ta có:
(a + b + c)^2 < 8 + 2(-8) = -8

Tuy nhiên, (a + b + c)^2 không thể nhỏ hơn -8 vì nó là bình phương của một số thực và không thể âm.

Do đó, giả thuyết ab + bc + 2ca < -8 là sai.

Vậy, ta có kết luận rằng nếu a^2 + b^2 + c^2 ≤ 8 thì ab + bc + 2ca ≥ -8.