Cho tam giác ABC thỏa mãn BC = 2.AB và góc ABC = 2. góc ACB. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông

Để chứng minh tam giác ABC vuông, ta cần chứng minh một trong các điều kiện sau:
1. AB là đường cao của tam giác ABC.
2. AB là đường trung tuyến của tam giác ABC.
3. AB là đường phân giác của góc BAC.

Ta sẽ chứng minh AB là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Gọi D là trung điểm của BC. Khi đó, ta có BD = CD = AB (vì BC = 2.AB).

Vì góc ABC = 2.góc ACB, suy ra góc ABC là góc nhọn.

Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC, ta có:
AB^2 = BC^2 + AC^2 - 2.BC.AC.cos(ABC)
AB^2 = (2.AB)^2 + AC^2 - 2.(2.AB).AC.cos(ABC)
AB^2 = 4.AB^2 + AC^2 - 4.AB.AC.cos(ABC)
0 = 3.AB^2 + AC^2 - 4.AB.AC.cos(ABC)

Vì BD = AB, suy ra AB^2 = BD.BC.

Áp dụng định lý cosin trong tam giác BCD, ta có:
BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2.BC.CD.cos(BCD)
AB^2 = BC^2 + BC^2 - 2.BC.BC.cos(BCD)
AB^2 = 2.BC^2 - 2.BC^2.cos(BCD)
AB^2 = 2.BC^2(1 - cos(BCD))
AB^2 = 2.BC^2.sin^2(BCD)
AB^2 = 2.BC^2.sin^2(90° - BCD)
AB^2 = 2.BC^2.sin^2(90° - 2.góc ACB)
AB^2 = 2.BC^2.sin^2(góc ACB)

Vì AB^2 = BD.BC, suy ra BD.BC = 2.BC^2.sin^2(góc ACB).

Từ hai biểu thức trên, ta có:
3.AB^2 + AC^2 - 4.AB.AC.cos(ABC) = 2.BC^2.sin^2(góc ACB)
3.BD.BC + AC^2 - 4.BD.AC.cos(ABC) = 2.BC^2.sin^2(góc ACB)
3.BC^2 + AC^2 - 4.BC.AC.cos(ABC) = 2.BC^2.sin^2(góc ACB)
AC^2 - 4.BC.AC.cos(ABC) = BC^2(2.sin^2(góc ACB) - 3)

Vì góc ABC là góc nhọn, nên cos(ABC) < 0. Do đó, ta có:
AC^2 - 4.BC.AC.cos(ABC) > AC^2

Vì BC = 2.AB, nên 2.sin^2(góc ACB) - 3 = 2.sin^2(2.góc ACB) - 3 < 0.

Vậy, ta có AC^2 - 4.BC.AC.cos(ABC) > AC^2 > BC^2(2.sin^2(góc ACB) - 3).

Do đó, AB không thể là đường phân giác của góc BAC.

Vậy, ta kết luận rằng tam giác ABC không thể là tam giác vuông.