Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y= (x^(2)+ 3)/(x- 1)

Để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \( y = \frac{x^2 + 3}{x - 1} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Tìm miền xác định
Hàm số \( y \) không xác định tại \( x = 1 \) vì tại đó mẫu số bằng 0. Do đó, miền xác định của hàm số là:

\[
D: \mathbb{R} \setminus \{1\}
\]

### Bước 2: Tìm giá trị giới hạn (hàm số tiệm cận)
Ta sẽ tìm giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến tới 1:

\[
\lim_{x \to 1} y = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 3}{x - 1}
\]

Biểu thức trở thành dạng không xác định (0/0) khi thay \( x = 1 \). Ta sẽ sử dụng quy tắc l'Hôpital:

\[
\lim_{x \to 1} \frac{2x}{1} = 2
\]

Vậy hàm số có tiệm cận đứng tại \( x = 1 \) và tiệm cận ngang không có.

### Bước 3: Tính đạo hàm để khảo sát sự biến thiên
Tính đạo hàm \( y' \):

\[
y' = \frac{(x - 1)(2x) - (x^2 + 3)(1)}{(x - 1)^2}
\]
\[
= \frac{2x^2 - 2x - x^2 - 3}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2}
\]
\[
= \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 1)^2}
\]

### Bước 4: Tìm điều kiện để hàm đơn điệu
- \( y' = 0 \) khi \( (x - 3)(x + 1) = 0 \).
- Cả hai nghiệm: \( x = 3 \) và \( x = -1 \).

### Bước 5: Xét dấu của đạo hàm
- \( x < -1 \): \( y' > 0 \) (hàm số tăng)
- \( -1 < x < 1 \): \( y' < 0 \) (hàm số giảm)
- \( 1 < x < 3 \): \( y' > 0 \) (hàm số tăng)
- \( x > 3 \): \( y' > 0 \) (hàm số tăng)

### Bước 6: Tóm tắt sự biến thiên
Hàm số có đặc điểm sau:
- Tăng trên \( (-\infty, -1) \)
- Giảm trên \( (-1, 1) \)
- Tăng trên \( (1, 3) \)
- Tăng trên \( (3, +\infty) \)

### Bước 7: Tìm giá trị tại các điểm quan trọng
- \( y(-1) = \frac{(-1)^2 + 3}{-1 - 1} = \frac{4}{-2} = -2 \)
- \( y(3) = \frac{3^2 + 3}{3 - 1} = \frac{12}{2} = 6 \)
- Tìm giới hạn khi \( x \to \pm\infty \):
\[
\lim_{x \to +\infty} y = \lim_{x \to -\infty} y = x \text{ (hệ số cao nhất của tử và mẫu số)}
\]

### Bước 8: Vẽ đồ thị
Diễn giải tọa độ các điểm quan trọng và tiệm cận. Đồ thị sẽ có hình dạng tăng, giảm, và tăng trở lại với tiệm cận đứng tại \( x = 1 \) và không tiệm cận ngang.

Đồ thị có thể vẽ bằng tay hoặc sử dụng phần mềm để có kết quả chính xác hơn. Chúc bạn thành công với việc vẽ đồ thị!