a/ Ta có HB = BA, và góc HBC = góc ABC (vì HB vuông góc với BC), nên tam giác HBC và tam giác ABC có hai cạnh bằng nhau và một góc bằng nhau, suy ra tam giác HBC và tam giác ABC đồng dạng. Do đó, ta có:

∠ABE = ∠HBE (cùng là góc nhọn)
∠AEB = ∠HEB (do tam giác Abe và tam giác hbe đồng dạng)
AB = HB (điều đã cho)

Vậy, theo trường hợp đồng dạng góc-góc-tứ giác, ta có tam giác Abe đồng dạng với tam giác hbe.

b/ Ta có:
∠AEH = ∠HEB + ∠AEB = ∠ABE + ∠AEB = 90° (do tam giác Abe vuông tại A)
∠AHE = ∠AHB + ∠BHE = ∠ABC + ∠HBC = ∠ABC + ∠ABC = 2∠ABC (do tam giác ABC vuông tại A)

Vậy, ta có tam giác AHE cân tại E.

c/ Ta cần chứng minh AH = HE. Ta có:
∠ABE = ∠HBE (do tam giác Abe và tam giác hbe đồng dạng)
∠AEB = ∠HEB (do tam giác Abe và tam giác hbe đồng dạng)
AB = HB (điều đã cho)

Suy ra tam giác Abe và tam giác hbe đồng dạng theo trường hợp đồng dạng góc-góc-tứ giác. Do đó, ta có:

AE/HE = AB/HB = 1

Vậy, ta có AH = HE.

d/ Ta cần chứng minh BE vuông góc với KC. Ta có:
∠HBE = ∠ABE (do tam giác Abe và tam giác hbe đồng dạng)
∠KCB = ∠ABC (do AB bé hơn AC)
∠ABC + ∠ABE + ∠HBE = 180° (tổng các góc trong tam giác Abe)
∠KCB + ∠BCA + ∠ABC = 180° (tổng các góc trong tam giác ABC)

Từ hai biểu thức trên, suy ra:

∠BCA + ∠ABE + ∠HBE = ∠KCB + ∠BCA + ∠ABC
∠ABE + ∠HBE = ∠KCB + ∠ABC
∠HBC = ∠KCB (do HB vuông góc với BC và AB bé hơn AC)
∠ABE + ∠HBC = ∠KCB + ∠ABC
∠ABE + ∠HBE = ∠KCB + ∠ABC
∠EBH = ∠KCB

Suy ra tam giác EBH đồng dạng với tam giác KCB theo trường hợp đồng dạng góc-g-g