a) Ta có tam giác ABC vuông tại D, nên BD là đường cao của tam giác ABC. Vì M là trung điểm của BC, nên MD cũng là đường cao của tam giác ABC. Do đó, MD song song với AB và MD vuông góc với AB. Vậy D là hình chiếu vuông góc của M lên AB. Tương tự, E là hình chiếu vuông góc của M lên AC.

Vì M là trung điểm của BC, nên ta có BM = MC. Khi đó, do D là hình chiếu vuông góc của M lên AB, nên ta có AM = MD. Tương tự, do E là hình chiếu vuông góc của M lên AC, nên ta có AM = ME. Vậy D và E lần lượt là trung điểm của AB và AC.

b) Ta đã chứng minh được D và E lần lượt là trung điểm của AB và AC. Vì M là trung điểm của BC, nên ta có BM = MC. Khi đó, ta có:

BD = BM + MD = MC + MD = CE.

Vậy BD = CE. Do đó, ta có BD || CE.

Vì D và E lần lượt là trung điểm của AB và AC, nên ta có AD = DB và AE = EC. Từ đó, ta có:

AD = DB = EC = AE.

Vậy ta có BD = CE và AD = AE. Do đó, ta có BDEM là hình bình hành.

c) Gọi N là trung điểm của AK. Ta cần chứng minh AK vuông góc KN.

Vì M là trung điểm của BC, nên ta có BM = MC. Khi đó, ta có:

BN = BM + MN = MC + MN = CN.

Vậy BN = CN. Do đó, ta có BN là đường trung bình của tam giác AKC.

Vì N là trung điểm của AK, nên ta có AN = NK. Từ đó, ta có:

AN = NK.

Vậy ta có AN = NK và BN = CN. Do đó, ta có tam giác ANB và tam giác CNK là tam giác đồng dạng.

Vì tam giác ANB và tam giác CNK là tam giác đồng dạng, nên ta có góc ANB = góc CNK.

Vì BN || EK (vì BDEM là hình bình hành), nên ta có góc BNE = góc EKN.

Từ đó, ta có:

góc ANB = góc CNK = góc BNE + góc EKN = góc BNE + góc BNE = 2góc BNE.

Vậy góc ANB là góc nhọn bằng góc BNE.

Vì góc ANB = góc BNE, nên ta có AK vuông góc KN.