Để chứng minh rằng (2n+5)^2 - 25 chia hết cho 4 với mọi số nguyên n, ta cần chứng minh rằng (2n+5)^2 - 25 là một số chẵn.

Ta có (2n+5)^2 - 25 = 4n^2 + 20n + 25 - 25 = 4n^2 + 20n.

Để chứng minh rằng 4n^2 + 20n là một số chẵn, ta chia thành 2 trường hợp:

Trường hợp 1: n là số chẵn.
Nếu n là số chẵn, ta có thể viết n = 2k, với k là số nguyên.
Thay n = 2k vào 4n^2 + 20n, ta được 4(2k)^2 + 20(2k) = 16k^2 + 40k = 8k(2k + 5).
Vì k là số nguyên, nên 8k là một số chẵn. Vì vậy, 8k(2k + 5) là một số chẵn.

Trường hợp 2: n là số lẻ.
Nếu n là số lẻ, ta có thể viết n = 2k + 1, với k là số nguyên.
Thay n = 2k + 1 vào 4n^2 + 20n, ta được 4(2k + 1)^2 + 20(2k + 1) = 16k^2 + 32k + 4 + 40k + 20 = 16k^2 + 72k + 24 = 8(2k^2 + 9k + 3).
Vì k là số nguyên, nên 8(2k^2 + 9k + 3) là một số chẵn.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng (2n+5)^2 - 25 chia hết cho 4 với mọi số nguyên n.