Để chứng minh ABEC là hình thoi, ta cần chứng minh các điều kiện sau:
1) AB = BC: Điều này đã được đề bài cho là AB = CD.
2) AB // EC: Ta có AM // EC vì M là trung điểm của AE, và AM // AB vì M là trung điểm của BC. Do đó, ta có AB // EC.
3) AB = EC: Ta có AM = ME vì M là trung điểm của AE. Vì AB // EC và AM = ME, nên ta có AB = EC.

Vậy, ta đã chứng minh được ABEC là hình thoi.

Để chứng minh D, C, E thẳng hàng, ta cần chứng minh:
1) AD // BC: Ta có AM // BC vì M là trung điểm của BC, và AM // AD vì M là trung điểm của AE. Do đó, ta có AD // BC.
2) AD = BC: Điều này đã được đề bài cho là AB = CD.
3) AD // EC: Ta đã chứng minh được AB // EC ở phần trên.
4) AD = EC: Ta đã chứng minh được AB = EC ở phần trên.

Vậy, ta đã chứng minh được D, C, E thẳng hàng.

Dưới đây là hình vẽ của hình bình hành ABCD và các điểm E, M:
```
A
/ \
/ \
/ \
/_______\
B C
\ /
\ /
\ /
\ /
D
|
|
M
|
|
E
```