Để chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác HC.AC^2 = BC.CH, ta sẽ sử dụng định lý đồng dạng tam giác.

Đầu tiên, ta cần chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác HAC. Ta có:

- Góc ABC = 90 độ (vì tam giác ABC vuông tại A)
- Góc AHC = 90 độ (vì AH là đường cao của tam giác ABC)
- Góc BAC = Góc CAH (cùng là góc nhọn)

Vậy, theo quy tắc AAA (có hai góc của một tam giác bằng nhau), ta có tam giác ABC đồng dạng với tam giác HAC.

Tiếp theo, ta cần chứng minh tam giác HAC đồng dạng với tam giác HCB. Ta có:

- Góc HAC = Góc HCB (cùng là góc nhọn)
- Góc AHC = Góc CHB (cùng là góc vuông)
- Góc CAH = Góc CBH (cùng là góc nhọn)

Vậy, theo quy tắc AAA (có hai góc của một tam giác bằng nhau), ta có tam giác HAC đồng dạng với tam giác HCB.

Từ đó, ta suy ra tam giác ABC đồng dạng với tam giác HCB.

Cuối cùng, ta cần chứng minh AC^2 = BC.CH. Ta có:

- Từ tam giác ABC đồng dạng với tam giác HCB, ta có tỉ lệ đồng dạng: AC/HC = BC/AC
- Từ đó, ta có AC^2 = BC.HC

Vậy, ta đã chứng minh được tam giác ABC đồng dạng với tam giác HC.AC^2 = BC.CH.