a, Để tính độ dài các đoạn thẳng AB, AC, AH, ta có thể sử dụng định lý Pythagoras và tính chất của đường cao trong tam giác vuông:

• Độ dài đoạn AB: Ta có AB^2 = BC^2 - AC^2. Vì BC = 8cm và BH = 2cm, nên AB^2 = 8^2 - (8 - 2)^2 = 20. Do đó, AB = sqrt(20) cm.
• Độ dài đoạn AC: Ta có AC = BC - BH = 8 - 2 = 6cm.
• Độ dài đoạn AH: Ta có AH = AB * AC / BC = sqrt(20) * 6 / 8 = 3sqrt(5) cm.

b, Để chứng minh rằng BD.BK = BH.BC, ta có thể sử dụng tính chất của tam giác vuông:

• Ta có tam giác ABD vuông tại A và tam giác ABK vuông tại A.
• Do đó, BD/AB = AB/AD và BK/AB = AB/AK.
• Nhân hai vế của hai phương trình trên với nhau, ta được BD.BK/AB^2 = AB^2/AD.AK.
• Vì AD.AK = AH^2, nên BD.BK/AB^2 = AB2/AH2.
• Vì AH^2 = BH.BC, nên BD.BK/AB^2 = AB^2/BH.BC.
• Cuối cùng, ta có BD.BK = BH.BC.

c, Để chứng minh rằng SABHD=1/SABKC. COS² ABD, ta có thể sử dụng tính chất của diện tích tam giác:

• Ta có SABHD = 1/2 * AD * HD và SABKC = 1/2 * KC * AC.
• Do đó, SABHD/SABKC = (AD * HD)/(KC * AC).
• Vì AD/KC = HD/AC, nên SABHD/SABKC = (AD/KC)^2.
• Vì cosABD = AD/BD và cosAKC = KC/BK, nên SABHD/SABKC = (cosABD/cosAKC)^2.
• Vì cosAKC = cos(90 - ABD) = sinABD, nên SABHD/SABKC = (cosABD/sinABD)^2.
• Cuối cùng, ta có SABHD=1/SABKC. COS² ABD.