a, Để tính độ dài các đoạn EF, EI, MI, ta có thể sử dụng các công thức sau:

• Độ dài đoạn EF: Ta có sinMFE = 3/5, nên EF = ME * sinMFE = 4 * 3/5 = 12/5 cm.
• Độ dài đoạn EI: Ta có EI^2 = ME^2 + EF^2 = 4^2 + (12/5)^2 = 256/25, nên EI = sqrt(256/25) = 16/5 cm.
• Độ dài đoạn MI: Ta có MI = ME * cosMFE = ME * sqrt(1 - sin^2MFE) = 4 * sqrt(1 - (3/5)^2) = 4 * 4/5 = 16/5 cm.

b, Để chứng minh rằng MP.PE + MQ.QF = MI^2, ta có thể sử dụng định lý Pythagoras:

• Ta có MP^2 + PI^2 = MI^2 và MQ^2 + QI^2 = MI^2.
• Do đó, MP^2 + MQ^2 + PI^2 + QI^2 = 2MI^2.
• Vì PI = PE và QI = QF, nên MP.PE + MQ.QF + PE^2 + QF^2 = 2MI^2.
• Vì PE.QF = EI^2 - EF^2, nên MP.PE + MQ.QF + EI^2 - EF^2 = 2MI^2.
• Vì EI^2 - EF^2 = MI^2, nên MP.PE + MQ.QF + MI^2 - EF^2 = 2MI^2.
• Do đó, MP.PE + MQ.QF + MI^2 - MI^2 = 2MI^2 - MI^2.
• Cuối cùng, ta có MP.PE + MQ.QF = MI^2.