a) Để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x - 10 = 0, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm các điểm cắt của đồ thị với trục hoành bằng cách giải phương trình f(x) = 0.
2x^3 - 3x^2 - 12x - 10 = 0
=> Sử dụng phương pháp giải đồng dư, ta có thể tìm được các nghiệm của phương trình này.

2. Tìm điểm cực trị của hàm số bằng cách tìm đạo hàm của hàm số và giải phương trình f'(x) = 0.
f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 0
=> Sử dụng phương pháp giải đồng dư, ta có thể tìm được các nghiệm của phương trình này.

3. Vẽ đồ thị hàm số f(x) trên một hệ trục tọa độ.

b) Để chứng minh rằng phương trình 2x^3 - 3x^2 - 12x - 10 = 0 có nghiệm thực duy nhất, ta sử dụng định lý giá trị trung bình của Lagrange.

Đặt h(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x - 10
Ta có h(3) = 2(3)^3 - 3(3)^2 - 12(3) - 10 = -10
và h(4) = 2(4)^3 - 3(4)^2 - 12(4) - 10 = 18

Vì h(3) < 0 và h(4) > 0, nên theo định lý giá trị trung bình của Lagrange, tồn tại một số α thuộc (3, 4) sao cho h'(α) = 0.

c) Để chứng minh rằng 3,5 < α < 3,6, ta sử dụng định lý giá trị trung bình của Lagrange.

Đặt g(x) = 6x^2 - 6x - 12
Ta có g(3,5) = 6(3,5)^2 - 6(3,5) - 12 = -3,5
và g(3,6) = 6(3,6)^2 - 6(3,6) - 12 = 0,96

Vì g(3,5) < 0 và g(3,6) > 0, nên theo định lý giá trị trung bình của Lagrange, tồn tại một số α' thuộc (3,5, 3,6) sao cho g'(α') = 0.

Do đó, 3,5 < α' < 3,6.