Để chứng minh AMCN là hình bình hành, ta cần chứng minh hai điều kiện sau:
1. AM // CN
2. AM = CN

1. Ta có AN = CN (theo đề bài), và ta cũng có AN // CN (do AN = CN là hai đoạn thẳng cắt nhau tại N). Vậy ta có AM // CN.

2. Ta cần chứng minh AM = CN.
Gọi I là giao điểm của AB và CD.
Ta có BI = DK (theo đề bài).
Gọi H là giao điểm của AM và BI.
Ta có AH // BI (do AH và BI là hai đoạn thẳng cắt nhau tại I).
Vậy ta có AH // BI // DK.
Do đó, ta có tam giác AHK và tam giác BID là hai tam giác đồng dạng (có hai cặp góc tương đồng).
Vì vậy, ta có:
AH/BI = HK/ID
AH/BI = AM/CD (do HK = AM và ID = CD)
Vậy ta có AM/CD = AH/BI.
Do AH // BI, ta có AM/CD = AH/BI = AK/BD (do AK // BD).
Vậy ta có AM/CD = AK/BD.
Vì AM + AK = AB và CD + BD = BC (vì ABCD là hình bình hành), nên ta có:
AM/CD + AK/BD = AB/BC
AM/CD + AK/CD = AB/BC (do CD = BD)
(AM + AK)/CD = AB/BC
AB/BC = AB/BC (đúng vì AB/BC = 1)
Vậy ta có AM/CD + AK/BD = AB/BC.
Vì AM/CD = AK/BD, nên ta có:
2(AM/CD) = 1
AM/CD = 1/2
Vậy ta có AM = 1/2 CD.
Tương tự, ta cũng có CN = 1/2 CD.
Vậy ta có AM = CN.
Vậy ta đã chứng minh được AMCN là hình bình hành.